Αν το άθροισμα των τετραγώνων των δύο αριθμών είναι 80 και η πλατεία της διαφοράς μεταξύ των δύο αριθμών είναι 36, τότε ποιο είναι το γινόμενο δύο αριθμών;


Απάντηση 1:

Η απάντηση είναι 22.

Αφήστε τους δύο αριθμούς να είναι x, και y.

Οι προϋποθέσεις που αναφέρονται είναι:

  • Το άθροισμα των τετραγώνων των δύο αριθμών είναι 80.x² + y2 = 80.Το τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ των δύο αριθμών είναι 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Πάρτε τη δεύτερη προϋπόθεση και αποκομίστε μια τιμή για το x².

  • x²-2xy + 2xy + Υ-Υ = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Αντικαταστήστε το x² στην πρώτη συνθήκη με την παραγόμενη τιμή.

  • x2 + y2 = 80 (-y² + 2xy + 36) + y2 = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36-36 = 80-362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Έτσι το προϊόν των δύο αριθμών (χ, γ) είναι 22.


Απάντηση 2:

Πρώτη προϋπόθεση:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Δεύτερη προϋπόθεση:

(ab)2=36(a-b)^2=36

Από τη δεύτερη προϋπόθεση:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Αντικατάσταση της πρώτης κατάστασης:

802ab=3680-2ab=36

, την αναδιοργάνωση

2ab=8036=442ab=80-36=44

Έτσι

2ab=442ab=44

και

ab=22ab=22

.

Η απάντηση: το προϊόν είναι 22.

Σε περίπτωση που θέλετε να λύσετε το πλήρες σύστημα: η διαφορά είναι

36=6\sqrt{36}=6

, και το προϊόν είναι

2222

, Έτσι, για

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Έτσι, αν πάρουμε τις λύσεις για

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα.

Η λύση για

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

είναι

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Έτσι

a=31+3a=\sqrt{31}+3

και

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι αυτοί οι δύο αριθμοί πληρούν τις προϋποθέσεις της ερώτησης και της απάντησης.


Απάντηση 3:

Πρώτη προϋπόθεση:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Αντικατάσταση της πρώτης κατάστασης:

319=2231–9=22

, την αναδιοργάνωση

x2+y2=80x^2+y^2=80

Έτσι

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

και

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

Σε περίπτωση που θέλετε να λύσετε το πλήρες σύστημα: η διαφορά είναι

36=6\sqrt{36}=6

, και το προϊόν είναι

2222

, Έτσι, για

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Έτσι, αν πάρουμε τις λύσεις για

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα.

Η λύση για

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

είναι

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Έτσι

a=31+3a=\sqrt{31}+3

και

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι αυτοί οι δύο αριθμοί πληρούν τις προϋποθέσεις της ερώτησης και της απάντησης.