Στις στατιστικές, ποια είναι η διαφορά μεταξύ της δοκιμασίας του δείκτη πιθανότητας και της δοκιμής γενικευμένης αναλογίας πιθανοτήτων;


Απάντηση 1:

Στο πλαίσιο της εκτίμησης παραμέτρων, η δοκιμασία αναλογίας πιθανότητας (LRT) ισχύει μόνο για απλές υποθέσεις ενώ η γενική δοκιμασία αναλογίας πιθανότητας (GLRT) μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν η υπόθεση δεν είναι απλή. Μια απλή υπόθεση είναι αυτή στην οποία η συγκεκριμένη παράμετρος ορίζεται σαφώς.

Ως παράδειγμα χρήσης LRT, ας υποθέσουμε ότι υποθέτουμε ότι ο πληθυσμός ακολουθεί κανονική κατανομή

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

, και θέλουμε να ελέγξουμε την μηδενική υπόθεση

H0:μ=μ0H_0: \mu = \mu_0

και εναλλακτική υπόθεση:

H1:μ=μ1H_1: \mu = \mu_1

. Στη συνέχεια, η στατιστική δοκιμή LRT είναι

λ(X)=L(μ1X)L(μ2X).\lambda(X) = \frac{L(\mu_1|X)}{L(\mu_2|X)}.

Ως παράδειγμα χρήσης της GLRT, ας υποθέσουμε ότι ο πληθυσμός ακολουθεί κανονική κατανομή

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

, και θέλουμε να ελέγξουμε την μηδενική υπόθεση

H0:μ>0H_0: \mu > 0

και εναλλακτική υπόθεση:

H1:μ0H_1: \mu \leq 0

. Παρατηρήστε ότι η υπό δοκιμή υπόθεση δεν είναι πλέον απλή, δεδομένου ότι η εν λόγω παράμετρος (

μ\mu

) δεν ορίζεται ρητά ως αριθμός όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Σε αυτή την περίπτωση, η στατιστική δοκιμή GLRT είναι

λ(X)=supμΘL(μX)supμΘ0L(μX).\lambda(X) = \frac{\text{sup}_{\mu \in \Theta}{L(\mu|X)}}{\text{sup}_{\mu \in \Theta_0}{L(\mu|X)}}.

Intheaboveexpression,Θisthesetofallpossible[math]μ[/math]value(itiscalledtheparameterspace),and[math]Θ0[/math]isthesetofallpossible[math]μ[/math]valueswhere[math]μ>0[/math](thisisasubsetoftheparameterspace). In the above expression, \Theta is the set of all possible [math]\mu[/math] value (it is called the parameter space), and [math]\Theta_0[/math] is the set of all possible [math]\mu[/math] values where [math]\mu > 0[/math] (this is a subset of the parameter space).

Επίσης, και στα δύο παραδείγματα,

XX

είναι τα δεδομένα δείγματος που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της παραμέτρου

μ\mu

, και

LL

είναι η λειτουργία πιθανότητας.