Υπάρχει μια συγκεκριμένη διαφορά ανάμεσα σε ένα διπλό ολοκλήρωμα και ένα επαναλαμβανόμενο ολοκληρωμένο;


Απάντηση 1:

Επιφανειακή ολοκλήρωση vs ολοκληρωμένο κύκλωμα:

Ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα είναι ένα αναπόσπαστο μέρος όπου η συνάρτηση είναι ενσωματωμένη ή αξιολογείται κατά μήκος μιας επιφάνειας που βρίσκεται σε υψηλότερο διαστατικό χώρο. Ένα (δύο διαστάσεων) επιφανειακό ολοκλήρωμα λαμβάνεται σε σχήμα ενσωματωμένο σε ένα χώρο υψηλότερου διαστάσεων.

Αλλά στο ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα αυτό μπορεί μόνο να ολοκληρώσει μια λειτουργία που περιορίζεται από την 2D περιοχή σε σχέση με την απειροελάχιστη περιοχή

Δηλαδή, μπορούμε να πάρουμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα μιας σφαίρας, ας πούμε, σε τρεις διαστάσεις. Μπορούμε να χαρτογραφήσουμε την επιφάνεια της σφαίρας σε ένα επίπεδο και στη συνέχεια να πάρουμε το ενιαίο σύνολο.

Ένα άλλο παράδειγμα θα είναι αυτό ενός κύβου σε 3D. Σαφώς, η επιφάνεια του κύβου είναι 2D στη φύση, αλλά ο ίδιος ο κύβος είναι ενσωματωμένος σε τρισδιάστατο χώρο. Μπορούμε να πάρουμε το ενιαίο πάνω από αυτή την επιφάνεια.

Μπορείτε να σκεφτείτε τα επιφανειακά ολοκληρώματα με αυτόν τον τρόπο: αν μπορούμε με κάποιο τρόπο να ξεδιπλώσουμε, να τεντώσουμε, να περιστρέψουμε, να κόψουμε και να λυγίσουμε την επιφάνεια κάποιου σχήματος για να το κάνουμε επίπεδη, τότε μπορούμε να πάρουμε την επιφάνεια ολοκληρωμένη πάνω από το όριο του σχήματος. Αλλά το ίδιο το σχήμα δεν είναι απαραιτήτως επίπεδο και σίγουρα όχι δισδιάστατο.

Ένα αναλλοίωτο ενσωματωμένο μπορεί να ληφθεί μόνο σε έναν δισδιάστατο χώρο. Δηλαδή, μπορούμε να το πάρουμε μόνο σε μια περιοχή 2D χώρου. Όπως ένα τετράγωνο, ένας κύκλος ή οποιοδήποτε άλλο σχήμα με εσωτερικό.

Έτσι, ένα ολοκληρωμένο επίθεμα μπορεί να οδηγήσει σε ένα επαναλαμβανόμενο ολοκληρωμένο εάν μπορούμε να χαρτογραφήσουμε (τεντώσουμε, περιστρέψουμε, κ.λπ.) την επιφάνεια σε έναν δισδιάστατο χώρο και αν αντιστρόφως μπορούμε να χαρτογραφήσουμε τον δισδιάστατο χώρο σε μια υψηλότερη διαστατική επιφάνεια, τότε μπορούμε να πάρουμε το ενιαίο της επιφάνειας! Είναι ωραία συμμετρία μεταξύ των δύο για αρκετά συμπαθητικές επιφάνειες και σχήματα (αν και το ενιαίο της επιφάνειας είναι γενικότερο εάν εξετάζουμε εξαιρετικές περιπτώσεις).

Το ενσωματωμένο τμήμα της επιφάνειας μετατρέπεται σε ενσωματωμένο κύκλωμα όταν η επιφάνεια προβάλλεται σε αυθαίρετη περιοχή επίπεδου.


Απάντηση 2:

Στις παθολογικές περιπτώσεις η σειρά της ενσωμάτωσης έχει σημασία. Για παράδειγμα

0101x2y2(x2+y2)2dydx=π4\int_0^1{\int_0^1{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy}dx} = \frac{\pi}{4}

, αλλά η αναπόσπαστη αλλαγή σηματοδοτεί αν η σειρά αντιστραφεί. (Δεδομένου ότι το ολοκλήρωμα υπάρχει και είναι μη μηδέν, τότε είναι αρκετά προφανές ότι το σημείο θα αλλάξει-ανταλλαγή

xx

και

yy

.)

Αλλά κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει εάν υπάρχει το διπλό ολοκλήρωμα. Έτσι το διπλό ολοκλήρωμα πρέπει να είναι διακριτικά διαφορετικό. Τα διπλά ολοκληρώματα ορίζονται με παρόμοιο τρόπο με τα ενιαία ολοκληρώματα - υποδιαιρούν τον τομέα και αφήνουν τα κομμάτια να τείνουν στο μηδέν σε μέγεθος. Ένα επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα είναι παρόμοιο αλλά ο τομέας διαιρείται σε ένα πλέγμα ορθογωνίων και τα πλάτη και τα ύψη τείνουν να μηδενίζονται χωριστά και η σειρά έχει σημασία.

Αν γνωρίζετε για την ενσωμάτωση της Lebesgue, αναζητήστε τα θεωρήματα Fubini-Tonelli.