Ποια είναι η βασική διαφορά μεταξύ ενός πεπερασμένου συνόλου και ενός άπειρου σετ;


Απάντηση 1:

Γράφω εδώ τη βασική διαφορά μεταξύ 3 κατηγοριών ..

1: Πεπερασμένο σετ

2: Μικρό Απεριόριστο Σετ

3: Απεριόριστο άπειρο σύνολο ..

Μπορούμε να διαφοροποιήσουμε τις παραπάνω 3 κατηγορίες μόνο ελέγχοντας την απαίτησή τους. Αλλά το θέμα είναι πώς να ελέγξετε την καταγραφή ...

Στο FINITE SETS, φυσικά τα στοιχεία μπορούν να μετρηθούν, π.χ.: A = {3, 5, 6, 9}, B = {a, e, i, o, u} N} κλπ. Σε όλα αυτά τα παραδείγματα, η καρδιανότητα είναι πολύ ξεκάθαρη.

Αλλά σε INFINITE SETS: τα στοιχεία μπορούν δυνητικά να μετρηθούν ή δεν μπορούν να μετρηθούν. Όπως, ξεκινάμε με το άπειρο σετ με τη μικρότερη καρδιοτητα ...

Σύνολο φυσικών αριθμών Ν-> Άπειρο, μετρήσιμο

Σύνολο πλήθους αριθμών W-> Άπειρο, μετρήσιμο

Σύνολο Ακεραίων Z -> Άπειρο, μετρήσιμο

Ορισμός λογικών αριθμών Q -> Άπειρο, μετρήσιμο

Σύνολο παράλογων αριθμών I -> Άπειρο, αμέτρητο

Σύνολο πραγματικών αριθμών R -> Infinite, uncountable

Ένα άπειρο σύνολο μετριέται αν υπάρχει επικλινής χαρτογράφηση, δηλαδή υπάρχει μία προς μία αντιστοιχία μεταξύ των καθορισμένων στοιχείων και του φυσικού αριθμού. Αυτό σημαίνει ότι είμαστε σε θέση να κανονίσουμε τα στοιχεία του σετ σε απλή σειρά, ή σε σειρές και στήλες. & είμαστε πολύ σίγουροι ποιος αριθμός έρχεται στη συνέχεια. Και φυσικό αριθμό σοφός μπορούμε να κανονίσουμε τα στοιχεία .. όπως 1ο στοιχείο, 2ο στοιχείο, 3ο στοιχείο ......... έτσι ... Μόνο κάτι που, αυτές οι σειρές & στήλες συνεχίζουν στο άπειρο .......

Για παράδειγμα ... φυσικοί αριθμοί 1,2,3,4,5,6,7, ......... .. άπειρο

Ολικοί αριθμοί O, 1,2,3,4,5, ............ άπειρο

Ακεραίων αρνητικό άπειρο ... .. -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5 ...... άπειρο

Ορισμοί 1/1, 1 / 2,1 / 3,1 / 4, ...... ..

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 .......

3 / 1,3 / 2,3 / 3,3 / 4, ...

4 / 1,4 / 2,4 / 3,4 / 4,4 / 5 ........

Εάν συνεχίσουμε με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλα τα πιθανά κλάσματα θα είναι κατάλληλα στην παραπάνω λίστα σε μία ή σε άλλες σειρές και στήλες.

Έτσι, όλα τα παραπάνω είναι αμέτρητα σύνολα.

Τώρα, όπως γνωρίζουμε ότι το σύνολο του Real number είναι η ένωση δύο συνόλων, Rationals & Irrationals

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι αμέτρητο, καθώς ανάμεσα σε κάθε 2 πραγματικούς αριθμούς υπάρχει ένας άλλος λογικός και παράλογος αριθμοί. Έτσι, η bijective χαρτογράφηση μεταξύ των στοιχείων και των φυσικών αριθμών δεν είναι δυνατή.

Έτσι, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι αμέτρητο και το σύνολο των Rationals είναι μετρήσιμο. Έτσι το σύνολο των παράλογων πρέπει να είναι αμέτρητο. Αν δεν είναι έτσι το σύνολο των πραγματικών αριθμών θα καταστεί μετρήσιμο, το οποίο δεν είναι έτσι ...


Απάντηση 2:

Εάν έχουμε ένα πεπερασμένο σύνολο και υπολογίζουμε τα στοιχεία του (δηλαδή, τα αντιστοιχούμε προς το ένα με το ένα με τους φυσικούς αριθμούς), τότε η καταμέτρηση τελειώνει και ο αντίστοιχος φυσικός αριθμός με τον οποίο τελειώσαμε είναι ο αριθμός των στοιχεία στη συσκευή.

Αν έχουμε ένα άπειρο σύνολο και μετράμε τα στοιχεία του, τότε η καταμέτρηση δεν τελειώνει. Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που να αντιστοιχεί στον αριθμό των στοιχείων του σετ.

Αυτή είναι η βασική διαφορά. Με άλλο τρόπο, τα στοιχεία ενός πεπερασμένου συνόλου δεν μπορούν να συνδυαστούν με το ένα προς ένα με όλα τα στοιχεία του

N\mathbb N

. Ή, από τεχνική άποψη, δεν υπάρχει ένεση

N\mathbb N

σε ένα πεπερασμένο σύνολο, αλλά υπάρχει μια τέτοια ένεση σε ένα άπειρο σύνολο.

Επίσης, κάθε άπειρο σύνολο έχει την ιδιότητα ότι ορισμένα από τα στοιχεία του μπορούν να αφαιρεθούν και παρόλα αυτά το υποσύνολο που προκύπτει μπορεί ακόμα να ταιριάξει ένα προς ένα με το αρχικό σύνολο (π.χ. οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να συνδυαστούν, -one, με το υποσύνολο των ζυγών αριθμών). Αυτό δεν είναι εφικτό με ένα πεπερασμένο σύνολο. Αυτή είναι στην πραγματικότητα μια διακριτική ιδιότητα: μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθορίσει την ουσιαστική διαφορά μεταξύ ενός πεπερασμένου συνόλου και ενός άπειρου συνόλου.


Απάντηση 3:

Άπειρα σύνολα μπορούν να εγχυθούν σε ένα σωστό υποσύνολο. Τα πεπερασμένα σύνολα δεν μπορούν.

Ας ξεδιπλώσουμε αυτό.

Μια "ένεση" από τη μία σε μια άλλη σημαίνει ότι για κάθε στοιχείο του σετ "από" μπορείτε να επιλέξετε ένα μοναδικό στοιχείο στο σύνολο "σε".

Για παράδειγμα, δεδομένου του συνόλου των πλευρών ενός κύβου και των αριθμών 1-10, μια ένεση από τις πλευρές στους αριθμούς θα έβαζε διαφορετικό αριθμό σε κάθε πλευρά του κύβου. Εάν βάζετε 1 σε δύο διαφορετικές πλευρές, δεν θα ήταν μια ένεση. Σημειώστε ότι η έγχυση δεν απαιτεί τη χρήση όλων των στοιχείων του συνόλου "σε". Στην έγχυση από τις πλευρές του κύβου σε 1-10, υπήρχαν τέσσερις αριθμοί που δεν χρησιμοποιήθηκαν.

Ένα "σωστό υποσύνολο" ενός συνόλου έχει όλα τα στοιχεία του στο σετ, αλλά όχι όλα τα στοιχεία του σετ είναι στο υποσύνολο. Για παράδειγμα, το σύνολο των μονοψήφιων πρώτων αριθμών είναι ένα σωστό υποσύνολο των 0-9, αφού τα 2,3,5 και τα 7 είναι όλα σε 0-9, αλλά το 8 δεν είναι στο σύνολο των 1 ψηφίων.

Ας δούμε τους "φυσικούς αριθμούς" και τους "ακόμη και φυσικούς αριθμούς". Είναι σαφές ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί, οπότε τα όμοια είναι ένα υποσύνολο φυσικών. Είναι επίσης σαφές ότι 3 είναι ένας φυσικός αριθμός που δεν είναι καν ομοιόμορφος. Έτσι οι ομοιότητες είναι ένα σωστό σύνολο φυσικών.

Όμως, κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με έναν μοναδικό ακόμα και φυσικό αριθμό. Εχεις

12,24,36,,147294,1\to2, 2\to4, 3\to6, \ldots, 147\to294, \ldots

. Αυτή η χαρτογράφηση είναι μια ένεση.

Αυτό σημαίνει ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι ένα άπειρο σύνολο.

Ως ένα άλλο παράδειγμα, εξετάστε το σύνολο των συμβολοσειρών πεπερασμένων γραμμών. Αυτό το σετ μοιάζει

Σ={"","a","ab","aab","bob",}\Sigma^* = \{"", "a", "ab", "aab", "bob", \ldots\}

, αν και δεν τους έβαλα σε κάποια συγκεκριμένη σειρά. Ένα από τα στοιχεία του συνόλου είναι η συμβολοσειρά που αποτελείται από το γράμμα "a" που επαναλαμβάνει ένα χρόνο googleplex. Τώρα εξετάστε το σετ

bΣ={"b"+σσΣ}b\Sigma^* = \{ "b"+\sigma | \sigma \in \Sigma^*\}

, ή το σύνολο των συμβολοσειρών που σχηματίζονται παίρνοντας κάθε συμβολοσειρά μέσα

Σ\Sigma^*

και προετοιμάζει το γράμμα "b" σε αυτό. Έτσι

bΣ={"b","ba","bab","baab","bbob",}b\Sigma^* = \{"b", "ba", "bab", "baab", "bbob", \ldots\}

, συμπεριλαμβανομένης της συμβολοσειράς που αποτελείται από το γράμμα "b" ακολουθούμενο από ένα γράμμα "a" του googleplex. Από κάθε στοιχείο του

\bΣ\b\Sigma^*

isafinitelengthstringofletters,itisasubsetofΣ.Sincethereareelementsof[math]Σ[/math]notin[math]bΣ[/math],itisapropersubset.Andsinceeveryelementof[math]Σ[/math]correspondstoauniqueelementin[math]bΣ[/math],thereisaninjection[math]ΣbΣ[/math].So[math]Σ[/math]isaninfiniteset. is a finite-length string of letters, it is a subset of \Sigma^*. Since there are elements of [math]\Sigma^*[/math] not in [math]b\Sigma^*[/math], it is a proper subset. And since every element of [math]\Sigma^*[/math] corresponds to a unique element in [math]b\Sigma^*[/math], there is an injection [math]\Sigma^* \to b\Sigma^*[/math]. So [math]\Sigma^*[/math] is an infinite set.

Οι άλλες δύο απαντήσεις μιλάνε για τα "μετρήσιμα" και "αμέτρητα" σύνολα, τα οποία δεν είναι πραγματικά στο επίκεντρο του θέματος. Σε γενικές γραμμές, ένα σύνολο είναι "μετρήσιμο" όταν μπορεί να εγχυθεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Όλα τα πεπερασμένα σύνολα είναι μετρήσιμα, το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι προφανώς μετρήσιμο κάτω από αυτόν τον ορισμό,

Σ\Sigma^*

είναι μετρήσιμη.

Ο μαθηματικός Georg Cantor απέδειξε ότι δεν είναι δυνατή η έγχυση του συνόλου ισχύος (σύνολο όλων των υποσυνόλων) στη συσκευή - δεν μπορείτε να κάνετε την ένεση

{,{1},{2},{1,2}}\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}

σε

{1,2}\{1,2\}

για παράδειγμα. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορείτε να κάνετε ένεση

P(N)N\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{N}

, Επομενως

P)N)\mathcal{P})\mathbb{N})

δεν είναι μετρήσιμο, ή είναι αμέτρητο. Επομένως, μερικά άπειρα σύνολα μπορούν να μετρηθούν και μερικά άπειρα σύνολα είναι αμέτρητα.

Η ιδέα ότι ένα άπειρο σύνολο μπορεί να εγχυθεί σε ένα σωστό υποσύνολο του ίδιου είναι ουσιαστικά ο ορισμός του τι σημαίνει για ένα σύνολο να είναι άπειρο.