Ποια είναι η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ 2D διανυσμάτων και πολύπλοκων αριθμών;


Απάντηση 1:

Ως πραγματικοί διανυσματικοί χώροι, δεν υπάρχει σημαντική διαφορά.

Αλλά οι σύνθετοι αριθμοί, εκτός από τον πολλαπλασιασμό με πραγματικούς αριθμούς, έχουν επίσης πολλαπλασιασμό με i. Αυτή είναι η θεμελιώδης διαφορά. Οι σύνθετοι αριθμοί έχουν μια πραγματική δομή άλγεβρας που ορίζεται από δύο βασικά στοιχεία 1, και i, με πολλαπλασιασμό 1 1 = 1, 1 i = i 1 = i, και i i = -1. Ένας γενικός χώρος διάνυσμα 2d δεν έρχεται με κάποια συγκεκριμένη δομή άλγεβρας.


Απάντηση 2:

ThekeydifferenceisthatCisafield,whereas[math]R2[/math]isjustavectorspace.The key difference is that \mathbb{C} is a field, whereas [math]\mathbb{R^2}[/math] is just a vector space.

C\mathbb{C}

Thisisusefulforalotofthings.Forexample,ifyouwantedtodefineafunctionthatrepresentedarotationof90degreescounterclockwiseinthe2Dplane,youcouldmultiplyeach2Dvectorbythematrix(0110),oryoucouldjustmultiplyeachcomplexnumberby[math]i[/math].Beingabletodividecomplexnumbersalsoallowsustodefinecomplexderivatives,whichareoneofthemainpointsofconcernforcomplexanalysis.This is useful for a lot of things. For example, if you wanted to define a function that represented a rotation of 90 degrees counterclockwise in the 2D plane, you could multiply each 2D vector by the matrix \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, or you could just multiply each complex number by [math]i[/math]. Being able to divide complex numbers also allows us to define complex derivatives, which are one of the main points of concern for complex analysis.

Inallotheraspects,particularlygeometricortopologicproperties,Cand[math]R2[/math]areequivalent.Youcanmapeachandeverycomplexnumbertoauniquevectorin2Dspaceandviceversa.In all other aspects, particularly geometric or topologic properties, \mathbb{C} and [math]\mathbb{R^2}[/math] are equivalent. You can map each and every complex number to a unique vector in 2D space and vice versa.

Infact,alotoftimesincomplexanalysisyouendupwritingcomplexvaluedfunctionsintermsoffunctionsin2Dspace.Givensomefunctionf:CC,youcanalwayswrite[math]f(z)=u(x,y)+iv(x,y)[/math],where[math]x[/math]and[math]y[/math]aretherealandimaginarypartsofzrespectively,andboth[math]u[/math]and[math]v[/math]arefunctionsfrom[math]R2[/math]to[math]R[/math].Knowinghowtodealwiththisbackandforthbetweencomplexnumbersand2Dspaceisveryuseful,sinceitallowsustowritepropertiesofonespaceintermsofpropertiesoftheother(SeeCauchyRiemannequations)In fact, a lot of times in complex analysis you end up writing complex valued functions in terms of functions in 2D space. Given some function f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}, you can always write [math]f(z)=u(x,y)+iv(x,y)[/math], where [math]x[/math] and [math]y[/math] are the real and imaginary parts of z respectively, and both [math]u[/math] and [math]v[/math] are functions from [math]\mathbb{R^2}[/math] to [math]\mathbb{R}[/math]. Knowing how to deal with this back and forth between complex numbers and 2D space is very useful, since it allows us to write properties of one space in terms of properties of the other (See Cauchy-Riemann equations)

ItsalsoimportanttonotethatnothingisstoppingyoufromdefiningamutliplicationoperationinR2thatsequivalenttocomplexnumbermultiplication:It’s also important to note that nothing is stopping you from defining a mutliplication operation in \R^2 that’s equivalent to complex number multiplication:

(ab)(cd)=(acbdad+bc)\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ac-bd\\ ad+bc\end{pmatrix}

Infactthisisaveryrigorouswayofdefiningcomplexnumbersthatyoumayfindinsomealgebratextbooks,thatcompletelycircumventstakingsquarerootsofnegativenumbers.YousimplydefineCas[math]R2[/math]giftedofthisproduct,andsay[math]i=(01)[/math].In fact this is a very rigorous way of defining complex numbers that you may find in some algebra textbooks, that completely circumvents taking square roots of negative numbers. You simply define \mathbb{C} as [math]\R^2[/math] gifted of this product, and say [math]i=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/math].

C\mathbb{C}

andR2areequivalent.Youcanmapeachandeverycomplexnumbertoauniquevectorin2Dspaceandviceversa. and \mathbb{R^2} are equivalent. You can map each and every complex number to a unique vector in 2D space and vice versa.

Στην πραγματικότητα, πολλές φορές σε σύνθετες αναλύσεις καταλήγετε να γράφετε πολύπλοκες αξιόλογες λειτουργίες από πλευράς λειτουργιών σε 2D χώρο. Με δεδομένη κάποια λειτουργία

f:CCf:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}

,youcanalwayswritef(z)=u(x,y)+iv(x,y),where[math]x[/math]and[math]y[/math]aretherealandimaginarypartsofzrespectively,andboth[math]u[/math]and[math]v[/math]arefunctionsfrom[math]R2[/math]to[math]R[/math].Knowinghowtodealwiththisbackandforthbetweencomplexnumbersand2Dspaceisveryuseful,sinceitallowsustowritepropertiesofonespaceintermsofpropertiesoftheother(SeeCauchyRiemannequations), you can always write f(z)=u(x,y)+iv(x,y), where [math]x[/math] and [math]y[/math] are the real and imaginary parts of z respectively, and both [math]u[/math] and [math]v[/math] are functions from [math]\mathbb{R^2}[/math] to [math]\mathbb{R}[/math]. Knowing how to deal with this back and forth between complex numbers and 2D space is very useful, since it allows us to write properties of one space in terms of properties of the other (See Cauchy-Riemann equations)

Είναι επίσης σημαντικό να σημειώσετε ότι τίποτα δεν σας εμποδίζει να ορίσετε μια λειτουργία mutliplication στο

R2\R^2

 αυτό είναι ισοδύναμο με πολύπλοκο πολλαπλασιασμό αριθμών:

(ab)(cd)=(acbdad+bc)\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ac-bd\\ ad+bc\end{pmatrix}

Στην πραγματικότητα, αυτός είναι ένας πολύ αυστηρός τρόπος για τον ορισμό σύνθετων αριθμών που μπορείτε να βρείτε σε κάποια βιβλία άλγεβρας, που παρακάμπτουν πλήρως τις τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών αριθμών. Απλώς ορίζετε

C\mathbb{C}

asR2giftedofthisproduct,andsay[math]i=(01)[/math]. as \R^2 gifted of this product, and say [math]i=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/math].