Ποια είναι η γεωμετρική διαφορά μεταξύ μερικών παραγώγων και συνήθων παραγώγων;


Απάντηση 1:

Ένα συνηθισμένο παράγωγο μιας μόνο μεταβλητής συνάρτησης σας δίνει την κλίση της συνάρτησης, η οποία σας λέει πόσο απότομη είναι η λειτουργία σε ένα σημείο. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του παραγώγου σε ένα σημείο, τόσο πιο απότομη είναι η λειτουργία σε εκείνο το σημείο.

Ένα μερικό παράγωγο σας δίνει την κλίση της εφαπτόμενης γραμμής σε μια επιφάνεια σε μια διατομή. Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια λειτουργία

f=f(x,y)f=f(x,y)

και βρίσκετε

fx\frac{\partial f}{\partial x}

. Τότε πρέπει να κρατάς σταθερή. Αυτό σημαίνει ότι αν πάρετε μια διατομή της επιφάνειας μέσω μιας συγκεκριμένης τιμής του y τότε θα πάρετε την κλίση της εφαπτομένης στην επιφάνεια σε αυτή την διατομή. Αυτή η κλίση ποικίλει καθώς το χ ποικίλει. Αν μετακινήσετε μια μονάδα κατά μήκος της κατεύθυνσης x σε μια διατομή, τότε θα μετακινηθείτε επίσης

fx\frac{\partial f}{\partial x}

μονάδων κατά μήκος του άξονα z.

Ομοίως,

fy\frac{\partial f}{\partial y}

είναι η κλίση της εφαπτομένης γραμμής στην επιφάνεια σε οποιαδήποτε διατομή που διέρχεται από μια συγκεκριμένη τιμή του x.


Απάντηση 2:

Στα μαθηματικά, ένα μερικό παράγωγο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι το παράγωγο της σε σχέση με μία από αυτές τις μεταβλητές, ενώ οι άλλες διατηρούνται σταθερές (σε αντίθεση με το συνολικό παράγωγο, στο οποίο επιτρέπονται όλες οι μεταβλητές). Χρησιμοποιούνται μερικά παράγωγα στον φορέα του λογισμικού και στη διαφορική γεωμετρία.

Στα μαθηματικά, ένα συνηθισμένο παράγωγο είναι μια διαφορική εξίσωση που περιέχει μία ή περισσότερες λειτουργίες μιας ανεξάρτητης μεταβλητής και των παραγώγων της. Ο όρος συνηθισμένος χρησιμοποιείται σε αντίθεση με τον όρο μερική διαφορική εξίσωση που μπορεί να είναι σε σχέση με περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές.


Απάντηση 3:

Όταν έχετε μια συνάρτηση με περισσότερες από μία μεταβλητές όπως

f(x,y)=xyf(x,y) = xy

για να βρούμε το μερικό παράγωγο του f σε σχέση με το x, υπολογίζουμε το συνηθισμένο παράγωγο του f εκτός του ότι αντιμετωπίζετε την άλλη μεταβλητή y ως ανεξάρτητη από το x. Με άλλα λόγια, το μερικό παράγωγο του f σε σχέση με το x είναι ο ρυθμός μεταβολής του f όταν το x ποικίλει αλλά το y είναι αμετάβλητο.